Geometría Analitica: La Linea Recta

Centro de Estudios Tecnológicos Industrial y de Servicios

no. 71

Nombre: Vanessa Vaquero Jiménez

Grupo: 3°k

Especialidad: Contabilidad

Materia: Geometría Analítica

Maestra: Ing. Martha Reyna Martínez

Proyecto N°1

2° Parcial

Pendiente y ángulo de inclinación

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.
En geometría, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.

Pendiente de una recta

Definición
La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe: toda recta que no sea horizontal, tiene que cortar al eje "x". Se dice que si una recta corta al eje X, la inclinación de la recta se define como el ángulo positivo menor de 180°.

Geometría

Una recta horizontal tiene pendiente igual a 0 (cero). Cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta; por ejemplo, una recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto al eje X tiene una pendiente m = +1, y una recta que caiga 30° tiene pendiente m = -0,5. La pendiente de una recta vertical no está definida, o se dice que es infinita.
El ángulo θ que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente m por medio de la siguiente relación trigonométrica:

O equivalentemente:

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Condiciones de paralelismo y perpendicular

Paralelismo y perpendicularidad, son dos factores que dentro de cualquier aspecto de la matemática son importantes. No solo en ésta, en contextos más sociales también ya que son el reflejo de ciertos factores en la naturaleza.
Por ejemplo, consideramos como (Paralelismo) aquella relación que establece que un objeto geométrico lineal con perspectiva dimensional (Unidimensional o mayor) no se intercepta con otro objeto del mismo estilo.
Ejemplos:
- Percepción (Bidimensional).

Percepción (Tridimensional)

Dicho signo (||) es un detonador del paralelismo.
El rigor del significado de (Paralelismo) toma diferentes sentidos de acuerdo al área por donde se aborde, ya que existen casos que es meramente abstracto su concepción como es el caso de la (Geometría afín) que emplea una noción más avanzada de lo que se conoce como: Espacios vectoriales.
La comprobabilidad si ciertos objetos matemáticos son paralelos, está sujeta a una serie de condiciones a cumplir, en algunos textos son citados como (Teoremas del paralelismo).
- Dos rectas no verticales (L1 y L2) son paralelas sí y solo sí sus correspondiente pendientes (m1 y m2) lo son también. (En caso 2D)
- Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).
- En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

Perpendicularidad

Por el contrario, consideramos como (Perpendicularidad) aquella relación opuesta al (Paralelismo) de tal manera que los objetos geométricos si se intersectan entre sí, formando un ángulo de (90 grados sexagesimales).
Ejemplos:
- Percepción (Bidimensional).

- Percepción (Tridimensional).

De igual manera la comprobabilidad si ciertos objetos matemáticos son perpendiculares, está sujeta a una cierta condición que es generalizada a otros aspectos geométricos en la consolidación de la (Ortogonalidad).
- Dos rectas no verticales (L1 y L2) son perpendiculares sí y solo sí si sus pendientes (m1 y m2) son recíprocas en cuestión de su signo. (En caso 2D)

La perpendicularidad se puede presentar en: Rectas, Semirectas, Planos, Semiplanos… Ya que (Semirectas y Semiplanos) son conceptos implícitos dentro del margen de (Rectas y Planos).
La demostración de las condiciones anteriores, sugiere una construcción geométrica. Aunque existen otros métodos analíticos que cumplirían con el mismo propósito como en el (álgebra vectorial) es posible observar, pero el método clásico es a base de la (Geometría plana más precisamente los postulados de Euclides).
Dicha demostración en esta ocasión no será realizada por cuestiones de espacio y por el concepto que se volvería de por sí más tedioso para un visitante toda la inducción que la (Construcción geométrica) requiere. Es por ello que se deja la demostración por la cuenta del interesado

Determinación de la ecuación de la recta.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo
y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Ecuación de la recta

En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)
Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.
Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de B X A. Como sigue:

Con el número x podemos obtener a cosw y a senw de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.3

Ecuación normal de la recta (Segunda forma)

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.
Rectas notables

Angulo De Intersección entre dos rectas

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos esto es: b1 = b2 = q1 – q2 y a1 = a2 = 1800 - b1.

..

________________________________________
Se define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal2 hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
b1 = q1 - q2 (1)
Fig. 4.14
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)

(2)

También,
cot b1 = cot (q1 - q2)

(3)

Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:

(2)´

tan b1

(3)’

y cot b1

Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

Ecuaciones polares

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r . Si r (−θ) = r (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r (180°−θ) = r (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r (θ−α°) = r (θ) será simétrico α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar , mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

Circunferencia

La ecuación general para una circunferencia con centro en (r 0, φ) y radio a es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

Donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arc tan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación

Rosa polar

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

Para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo[0,2π] para Ф la grafica de la ecuacion:

Es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es una circunferencia de radio

Espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Secciones cónicas

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

Donde e es la excentricidad y ℓ es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio ℓ .

Familia de Rectas

La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas, ésta definición es útil para hallar la ecuación de una recta en particular. La familia de rectas se clasifica en tres grupos los cuales son:

FAMILIAS DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA.

Si la ecuación de la recta dada es Ax+By+C=0 y su pendiente es m=-A/B, entonces el conjunto de rectas L1 y que son paralelas a L2 tendrán por ecuación y=mx+b, por el criterio de paralelismo.
Y=-A/Bx+b entonces Ax+By+Bb
Si sustituimos la cantidad constante B por el parámetro K tendremos la ecuación de la familia de rectas paralelas a L1
L1: Ax+By+K=0

FAMILIA DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA.

Si conocemos la recta L1:Ax+By+C=0 con pendiente m=-A/B y si y=mx+b es cualquiera de las rectas, L1 entonces por el criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma:
Y=B/Ax+b entonces L1=Bx-Ay+Ab=0
Si sustituimos por el producto Ab por el parámetro K obtenemos:
L1:Bx-Ay+K=0

FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.

El conjunto de rectas pueden ser 1,2,3……..n, que pasan por un punto se la llama también familia de rectas con centro P.

Si:
L1:Ax1+By1+C1 Y L2:A2x+B2y+C2=0
Son las rectas dadas que cortan en el centro P, la ecuación:
L1: α(A1x+B1y+C)+β(A2x+B2y+C2)=0

Multiplicando a la primera recta por α y a la segunda recta por β y a este resultado lo dividimos por α y si suponemos que β/α=K tendremos:
A1x+B1y+C1+K(A2x+B2y+C2)=0
Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta de la familia con centro P. El parámetro K es una constante para cada miembro de la familia que varía de recta en recta
Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta.
La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo
positivo W que la perpendicular forma con el eje de las x. La perpendicular OA a la recta L, representada
por P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA varia de
0°= W < 360°.

Si damos valores a p y W, la recta L trazada por A(x1
, y,) queda determinada por la ecuación de la recta en
su forma normal que se obtiene en la forma siguiente:
Observando la figura anterior, tenemos:

cos w = X1/p
sen w = Y1/p

Despejamos: Despejamos:
x1 = p cos w y1 = p sen w

Sustituimos los dos valores anteriores en A = (x1 , y1), con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A,
que son: A = (p cos W, p sen w)
Par su parte, la pendiente m de OA es: m =tan w

Como la recta L es perpendicular a la recta GA, sus pendientes están relacionadas con; m1= -1/m2
es decir, la recíproca con signo cambiado. Como ya sabemos que la pendiente de OA es tan w, la inversa
de esta función con signo cambiado de la recta L perpendicular a GA es: -cot w de donde, m =-cot w = COSW/SINW

Rectas y Puntos notables de un triangulo

Rectas y puntos notables de un triángulo. Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. En los triángulos se pueden denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determinan los puntos notables: circuncentro, baricentro, ortocentro y el incentro, respectivamente.

Mediatriz

Mediatriz: Conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos extremos de un segmento. Como consecuencia la mediatriz biseca perpendicularmente al segmento. En un triángulo, las tres mediatrices de sus lados concurren en un punto que equidista de los vértices del triángulo. El punto en el que se cortan las mediatrices de un triángulo, se conoce como circuncentro, o sea, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de referencia. Al radio de la circunferencia circunscrita se le suele llamar circunradio y es la distancia desde el circuncentro a los vértices del triángulo. Obviando el rigor de la definición de círculo, a la circunferencia circunscrita se le llama también circuncírculo (para abreviar).

Mediana:

• La mediana es el segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto.
• Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto.
• El punto donde se cortan la medianas de un triángulo se conoce como baricentro, centroide o centro de gravedad y tiene una propiedad física muy importante: Si colocamos un eje a través de él y dejamos libre el triángulo, este no se mueve por acción de la aceleración de la gravedad, es por ello que el baricentro se llama centro de gravedad del triángulo.
• Las medianas se cortan siempre en un punto interior al triángulo.
• El baricentro divide a cada mediana en la razón 2:1. Esto es, la longitud del segmento de mediana medida desde el vértice al baricentro es el doble que desde el baricentro al punto medio del lado en cuestión.
• Cada mediana de un triángulo, lo divide en dos triángulos de igual área

Las Alturas

• Se llama altura de un triángulo al segmento de perpendicular trazada por un vértice del triángulo y comprendido entre ese vértice y su lado opuesto.
• Las alturas de un triángulo concurren en un punto denominado ortocentro del triángulo.
• El ortocentro de un triángulo acutángulo es un punto interior del triángulo.

El ortocentro en un triangulo obtusángulo

 En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es un punto exterior al triángulo.
 En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

 Los pies de las alturas de un triángulo determinan un triángulo llamado: triángulo pedal u órtico del triángulo dado

Las bisectrices

 Bisectriz de un ángulo: Es el conjunto de puntos del plano donde está contenido el ángulo que equidista de los lados del ángulo. Como consecuencia la bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos de igual amplitud.

 Todo ángulo tiene dos bisectrices, una interna y otra externa. Las bisectrices interna y externa de un ángulo son perpendiculares entre sí.

 Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto que equdista de los lados del triángulo, llamado incentro del triángulo o centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y siempre es interior al triángulo. La equidistancia se llama inradio o radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

 Cada bisectriz interna y las bisectrices de los otros dos ángulos externos del triángulo concurren en otros tres puntos que también equidistan de los lados (o sus prolongaciones) del triángulo. Estos puntos se llaman exincentros del triángulo y las circunferencias que determinan: circunferencias exinscritas del triángulo. Algunos autores las llaman circunferencias excritas o excírculos y a sus centros excentros.

DIFERENTES FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Ecuación de la línea recta que pasa por un punto A(X₁,Y₁) y la pendiente conocida m .

Conociendo otro punto cualesquiera de la recta P(X,Y) como se indica en la figura:

Apliquemos la fórmula de la pendiente:

Y - Y₁ = m(X - X₁) Ecuación de la Recta de Punto y Pendiente.

Ecuación de la Línea Recta con Pendiente y Ordenada en el Origen.

Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura: